РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 484579 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Неравенства с модулями, Неравенства смешанного типа

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.2 Рациональные неравенства;

2.2.3 Показательные неравенства;

2.2.4 Логарифмические неравенства.

Неравенства. Логарифмы и показательные выражения

Решите неравенство

$логарифм по основанию 2 левая круглая скобка левая круглая скобка 7 в степени левая круглая скобка минус x в квадрате правая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка \times левая круглая скобка 7 в степени левая круглая скобка минус x в квадрате плюс 16 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка плюс$
$плюс логарифм по основанию 2 дробь: числитель: 7 в степени левая круглая скобка минус x в квадрате правая круглая скобка минус 3, знаменатель: 7 в степени левая круглая скобка минус x в квадрате плюс 16 правая круглая скобка минус 1 конец дроби больше логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 7 в степени левая круглая скобка 7 минус x в квадрате правая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка в квадрате .$

Решение. Пусть $t=7 в степени левая круглая скобка минус x в квадрате правая круглая скобка ,0 меньше t меньше или равно 1,$ тогда неравенство принимает вид:

$логарифм по основанию 2 левая круглая скобка левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка \times левая круглая скобка 7 в степени левая круглая скобка 16 правая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 2 дробь: числитель: t минус 3, знаменатель: 7 в степени левая круглая скобка 16 правая круглая скобка t минус 1 конец дроби больше логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 7 в степени 7 t минус 2 правая круглая скобка в квадрате .$ $логарифм по основанию 2 левая круглая скобка левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка \times левая круглая скобка 7 в степени левая круглая скобка 16 правая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка плюс$
$плюс логарифм по основанию 2 дробь: числитель: t минус 3, знаменатель: 7 в степени левая круглая скобка 16 правая круглая скобка t минус 1 конец дроби больше логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 7 в степени 7 t минус 2 правая круглая скобка в квадрате .$

Так как $t минус 3 меньше 0,$ имеем $7 в степени левая круглая скобка 16 правая круглая скобка t минус 1 меньше 0,$ а значит, $0 меньше t меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 7 в степени левая круглая скобка 16 правая круглая скобка конец дроби меньше дробь: числитель: 2, знаменатель: 7 в степени 7 конец дроби .$

Получаем:

$система выражений логарифм по основанию 2 левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка в квадрате больше логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 7 в степени 7 t минус 2 правая круглая скобка в квадрате , 0 меньше t меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 7 в степени левая круглая скобка 16 правая круглая скобка конец дроби конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений |t минус 3| больше \left|7 в степени 7 t минус 2|, 0 меньше t меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 7 в степени левая круглая скобка 16 правая круглая скобка конец дроби конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений 3 минус t больше 2 минус 7 в степени 7 t, 0 меньше t меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 7 в степени левая круглая скобка 16 правая круглая скобка конец дроби конец системы . равносильно 0 меньше t меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 7 в степени левая круглая скобка 16 правая круглая скобка конец дроби .$ $система выражений логарифм по основанию 2 левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка в квадрате больше логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 7 в степени 7 t минус 2 правая круглая скобка в квадрате , 0 меньше t меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 7 в степени левая круглая скобка 16 правая круглая скобка конец дроби конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений |t минус 3| больше \left|7 в степени 7 t минус 2|, 0 меньше t меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 7 в степени левая круглая скобка 16 правая круглая скобка конец дроби конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений 3 минус t больше 2 минус 7 в степени 7 t, 0 меньше t меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 7 в степени левая круглая скобка 16 правая круглая скобка конец дроби конец системы . равносильно$
$равносильно 0 меньше t меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 7 в степени левая круглая скобка 16 правая круглая скобка конец дроби .$

Поясним: неравенство $3 минус t больше 2 минус 7 в степени 7 t$ эквивалентно неравенству $левая круглая скобка 7 в степени 7 минус 1 правая круглая скобка t больше минус 1$ и выполнено для всех значений переменной. Итак,

$7 в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка в квадрате меньше 7 в степени левая круглая скобка минус 16 правая круглая скобка равносильно x в квадрате больше 16 равносильно совокупность выражений x больше 4, x меньше минус 4. конец совокупности .$

Ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 4 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 4; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

484579

$левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 4 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 4; плюс бесконечность правая круглая скобка .$