PDF-версии: 
Длины всех ребер правильной четырёхугольной пирамиды PABCD с вершиной P равны между собой. Точка M — середина бокового ребра пирамиды AP.
а) Докажите, что плоскость, проходящая через точки B и M и перпендикулярная плоскости BDP, делит высоту пирамиды пополам.
б) Найдите угол между прямой BM и плоскостью BDP.
Решение. а) Пусть отрезок PH — высота пирамиды PABCD, отрезок MN — средняя линия треугольника APH (см. рис.).
Поскольку PABCD — правильная пирамида, точка H — центр квадрата ABCD, значит, 
и 
откуда 
Но 
следовательно, 
Значит, плоскость BMN перпендикулярна плоскости BDP по признаку перпендикулярности плоскостей. Через точки B и M можно провести только одну плоскость, перпендикулярную BPD, и эта плоскость является плоскостью BMN, делящей высоту пирамиды пополам. Таким образом, утверждение задачи доказано.
б) Прямая BN — проекция прямой BM на плоскость BDP, значит, угол между прямой BM и плоскостью BDP равен углу между прямой BM и прямой BN, то есть острому углу MBN прямоугольного треугольника 
Примем длину ребра данной пирамиды за a, тогда медиана равностороннего треугольника 
и, следовательно, 
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |