РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 1 № 4641 Добавить в вариант

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

1.2.1 Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла;

Планиметрия. Решение прямоугольного треугольника

В треугольнике ABC угол C равен $90 градусов ,$ $синус A= дробь: числитель: 16, знаменатель: 23 конец дроби ,$ $AC= корень из: начало аргумента: 273 конец аргумента .$ Найдите AB.

Решение.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC  =  4,8, $синус A = дробь: числитель: 7, знаменатель: 25 конец дроби .$ Найдите AB.

Найдем косинус угла A:

$косинус A = корень из: начало аргумента: 1 минус синус в квадрате A конец аргумента = корень из: начало аргумента: 1 минус дробь: числитель: 49, знаменатель: 625 конец дроби конец аргумента = дробь: числитель: 24, знаменатель: 25 конец дроби .$

Следовательно,

$AB = дробь: числитель: AC, знаменатель: косинус A конец дроби = 4,8 : дробь: числитель: 24, знаменатель: 25 конец дроби = 4,8 умножить на дробь: числитель: 25, знаменатель: 24 конец дроби = дробь: числитель: 48, знаменатель: 10 конец дроби умножить на дробь: числитель: 25, знаменатель: 24 конец дроби = 5.$ $AB = дробь: числитель: AC, знаменатель: косинус A конец дроби = 4,8 : дробь: числитель: 24, знаменатель: 25 конец дроби =$
$= 4,8 умножить на дробь: числитель: 25, знаменатель: 24 конец дроби = дробь: числитель: 48, знаменатель: 10 конец дроби умножить на дробь: числитель: 25, знаменатель: 24 конец дроби = 5.$

Ответ: 5.

Примечание.

Можно было бы воспользоваться определением косинуса: $косинус A = дробь: числитель: 24, знаменатель: 25 конец дроби = дробь: числитель: AC, знаменатель: AB конец дроби ,$ то есть $дробь: числитель: 24, знаменатель: 25 конец дроби = дробь: числитель: 4,8, знаменатель: AB конец дроби ,$ откуда $AB = дробь: числитель: 25 умножить на 4,8, знаменатель: 24 конец дроби = 5.$

Приведём другое решение.

Пусть искомая длина гипотенузы равна x. По определению синуса $синус A = дробь: числитель: CB, знаменатель: AB конец дроби = дробь: числитель: 7, знаменатель: 25 конец дроби ,$ то есть $дробь: числитель: CB, знаменатель: x конец дроби = дробь: числитель: 7, знаменатель: 25 конец дроби ,$ откуда $CB = дробь: числитель: 7, знаменатель: 25 конец дроби x.$ Применим теорему Пифагора:

$x в квадрате = 4,8 в квадрате плюс левая круглая скобка дробь: числитель: 7, знаменатель: 25 конец дроби x правая круглая скобка в квадрате равносильно x в квадрате = левая круглая скобка дробь: числитель: 24, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка в квадрате плюс дробь: числитель: 49, знаменатель: 625 конец дроби x в квадрате равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 576, знаменатель: 625 конец дроби x в квадрате = дробь: числитель: 576, знаменатель: 25 конец дроби равносильно x в квадрате = 25 \underset x больше 0 \mathop равносильно x = 5.$ $x в квадрате = 4,8 в квадрате плюс левая круглая скобка дробь: числитель: 7, знаменатель: 25 конец дроби x правая круглая скобка в квадрате равносильно$
$равносильно x в квадрате = левая круглая скобка дробь: числитель: 24, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка в квадрате плюс дробь: числитель: 49, знаменатель: 625 конец дроби x в квадрате равносильно дробь: числитель: 576, знаменатель: 625 конец дроби x в квадрате = дробь: числитель: 576, знаменатель: 25 конец дроби равносильно$
$равносильно x в квадрате = 25 \underset x больше 0 \mathop равносильно x = 5.$ $x в квадрате = 4,8 в квадрате плюс левая круглая скобка дробь: числитель: 7, знаменатель: 25 конец дроби x правая круглая скобка в квадрате равносильно$
$равносильно x в квадрате = левая круглая скобка дробь: числитель: 24, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка в квадрате плюс дробь: числитель: 49, знаменатель: 625 конец дроби x в квадрате равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 576, знаменатель: 625 конец дроби x в квадрате = дробь: числитель: 576, знаменатель: 25 конец дроби равносильно x в квадрате = 25 \underset x больше 0 \mathop равносильно x = 5.$ $x в квадрате = 4,8 в квадрате плюс левая круглая скобка дробь: числитель: 7, знаменатель: 25 конец дроби x правая круглая скобка в квадрате равносильно$
$равносильно x в квадрате = левая круглая скобка дробь: числитель: 24, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка в квадрате плюс дробь: числитель: 49, знаменатель: 625 конец дроби x в квадрате равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 576, знаменатель: 625 конец дроби x в квадрате = дробь: числитель: 576, знаменатель: 25 конец дроби равносильно$
$равносильно x в квадрате = 25 \underset x больше 0 \mathop равносильно x = 5.$

Ответ: 23

4641

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

1.2.1 Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла;

5.1.1 Треугольник.

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	4641	23