Ре­ше­ние. Для того чтобы по­сту­пить хоть куда-⁠ни­будь, З. нужно сдать и рус­ский, и ма­те­ма­ти­ку как ми­ни­мум на 70 бал­лов, а по­ми­мо этого еще сдать ино­стран­ный язык или об­ще­ст­во­зна­ние не менее чем на 70 бал­лов. Пусть A, B, C и D  — это со­бы­тия, в ко­то­рых З. сдает со­от­вет­ствен­но ма­те­ма­ти­ку, рус­ский, ино­стран­ный и об­ще­ст­во­зна­ние не менее чем на 70 бал­лов. Тогда, по­сколь­ку

для ве­ро­ят­но­сти по­ступ­ле­ния имеем:

Ответ: 0,408.

При­ве­дем дру­гую за­пись этого ре­ше­ния.

В силу не­за­ви­си­мо­сти со­бы­тий, ве­ро­ят­ность успеш­но сдать эк­за­ме­ны на линг­ви­сти­ку: 0,6 · 0,8 · 0,7  =  0,336, ве­ро­ят­ность успеш­но сдать эк­за­ме­ны на ком­мер­цию: 0,6 · 0,8 · 0,5  =  0,24, ве­ро­ят­ность успеш­но сдать эк­за­ме­ны и на «Линг­ви­сти­ку», и на «Ком­мер­цию»: 0,6 · 0,8 · 0,7 · 0,5  =  0,168. Успеш­ная сдача эк­за­ме­нов на «Линг­ви­сти­ку» и на «Ком­мер­цию»  — со­бы­тия сов­мест­ные, по­это­му ве­ро­ят­ность их суммы равна сумме ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий, умень­шен­ной на ве­ро­ят­ность их про­из­ве­де­ния. Таким об­ра­зом, по­сту­пить хотя бы на одну из этих спе­ци­аль­но­стей аби­ту­ри­ент может с ве­ро­ят­но­стью 0,336 + 0,24 − 0,168  =  0,408.

При­ведём ре­ше­ние Алек­сея Стол­бо­ва из Маг­ни­то­гор­ска.

Есть три ва­ри­ан­та по­ступ­ле­ния аби­ту­ри­ен­та хотя бы на одну спе­ци­аль­ность:

а)  по­сту­пить на линг­ви­сти­ку при этом не по­сту­пив на ком­мер­цию: ве­ро­ят­ность 0,6 · 0,8 · 0,7 · 0,5;

б)  по­сту­пить и на линг­ви­сти­ку, и на ком­мер­цию: ве­ро­ят­ность 0,6 · 0,8 · 0,7 · 0,5;

в)  не по­сту­пить на линг­ви­сти­ку, при этом по­сту­пив на ком­мер­цию: ве­ро­ят­ность 0,6 ·  0,8 · 0,3 · 0,5.

Эти со­бы­тия не­сов­мест­ные, ис­ко­мая ве­ро­ят­ность суммы этих со­бы­тий равна сумме их ве­ро­ят­но­стей:

При­ведём ре­ше­ние Ирины Шраго из Санкт-Пе­тер­бур­га.

Для по­ступ­ле­ния З. не­об­хо­ди­мо сдать ма­те­ма­ти­ку и рус­ский язык хотя бы на 70 бал­лов, а также сдать ино­стран­ный язык или об­ще­ст­во­зна­ние не менее чем на 70 бал­лов. Это со­бы­тия не­за­ви­си­мые, причём со­бы­тие «сдать хотя бы один эк­за­мен не менее чем на 70 бал­лов» про­ти­во­по­лож­но со­бы­тию «сдать оба пред­ме­та менее чем на 70 бал­лов». По­лу­ча­ем, что ве­ро­ят­ность ис­ко­мо­го со­бы­тия: 0,6 · 0,8 · (1 − 0,3 · 0,5)  =  0,408.

При­ведём ре­ше­ние с по­мо­щью дво­ич­но­го де­ре­ва.