В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH — высота, $AB = 26,$ $тангенс A = 8.$ Найдите AH.

Решение.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH — высота, AB = 13, $тангенс A = дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби .$ Найдите AH.

Имеем:

$AH = AC косинус A = левая круглая скобка AB косинус A правая круглая скобка косинус A = AB косинус в квадрате A =$
$= AB умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 плюс тангенс в квадрате A конец дроби = 13 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 25 конец дроби конец дроби = 13 умножить на дробь: числитель: 25, знаменатель: 26 конец дроби = 12,5.$ $AH = AC косинус A = левая круглая скобка AB косинус A правая круглая скобка косинус A =$
$= AB косинус в квадрате A = AB умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 плюс тангенс в квадрате A конец дроби =$
$= 13 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 25 конец дроби конец дроби = 13 умножить на дробь: числитель: 25, знаменатель: 26 конец дроби = 12,5.$ $AH = AC косинус A =$
$= левая круглая скобка AB косинус A правая круглая скобка косинус A = AB косинус в квадрате A =$
$= AB умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 плюс тангенс в квадрате A конец дроби = 13 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 25 конец дроби конец дроби =$
$= 13 умножить на дробь: числитель: 25, знаменатель: 26 конец дроби = 12,5.$ $AH = AC косинус A =$
$= левая круглая скобка AB косинус A правая круглая скобка косинус A =$
$= AB косинус в квадрате A = AB умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 плюс тангенс в квадрате A конец дроби =$
$= 13 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 25 конец дроби конец дроби =$
$= 13 умножить на дробь: числитель: 25, знаменатель: 26 конец дроби = 12,5.$

Ответ: 12,5.

Приведем решение без использования тригонометрии (Мария Казначеева).

Из треугольника ACH найдем $тангенс A = дробь: числитель: CH, знаменатель: AH конец дроби ,$ значит, $дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби = дробь: числитель: CH, знаменатель: AH конец дроби ,$ откуда $CH = дробь: числитель: AH, знаменатель: 5 конец дроби .$ По свойству прямоугольного треугольника $CH в квадрате = AH умножить на HB.$ Пусть $AH = x,$ тогда $HB = 13 минус x,$ следовательно,

$левая круглая скобка дробь: числитель: x, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка в квадрате = x левая круглая скобка 13 минус x правая круглая скобка равносильно дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 25 конец дроби = 13x минус x в квадрате равносильно$
$равносильно x в квадрате = 13 умножить на 25x минус 25x в квадрате равносильно$
$равносильно 26x в квадрате минус 13 умножить на 25x = 0 равносильно 13x левая круглая скобка 2x минус 25 правая круглая скобка = 0,$ $левая круглая скобка дробь: числитель: x, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка в квадрате = x левая круглая скобка 13 минус x правая круглая скобка равносильно дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 25 конец дроби = 13x минус x в квадрате равносильно$
$равносильно x в квадрате = 13 умножить на 25x минус 25x в квадрате равносильно$
$равносильно 26x в квадрате минус 13 умножить на 25x = 0 равносильно$
$равносильно 13x левая круглая скобка 2x минус 25 правая круглая скобка = 0,$ $левая круглая скобка дробь: числитель: x, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка в квадрате = x левая круглая скобка 13 минус x правая круглая скобка равносильно$
$равносильно дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 25 конец дроби = 13x минус x в квадрате равносильно$
$равносильно x в квадрате = 13 умножить на 25x минус 25x в квадрате равносильно$
$равносильно 26x в квадрате минус 13 умножить на 25x = 0 равносильно$
$равносильно 13x левая круглая скобка 2x минус 25 правая круглая скобка = 0,$

откуда $x = 0,$ что не подходит, или

$2x минус 25 = 0 равносильно 2x = 25 равносильно x = 12,5.$

Приведем еще одно решение (Камиль Исламов).

Заметим, что угол CAH равен углу BCH. Пусть $AH = x,$ тогда $HB = 13 минус x.$ Из треугольника ACH имеем $CH = AH умножить на тангенс A = дробь: числитель: x, знаменатель: 5 конец дроби .$ Из треугольника BCH имеем $CH = дробь: числитель: BH, знаменатель: тангенс A конец дроби = 5 левая круглая скобка 13 минус x правая круглая скобка .$ Приравнивая получившиеся выражения для CH, получим

$дробь: числитель: x, знаменатель: 5 конец дроби = 5 левая круглая скобка 13 минус x правая круглая скобка равносильно дробь: числитель: 26x, знаменатель: 5 конец дроби = 65 равносильно x = 12,5.$

Ответ: 0,2

30537

0,2

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

1.2.1 Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла;

5.1.1 Треугольник.