Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен 3. Найдите высоту этого треугольника.

Решение. Треугольник ABC правильный, значит, все его углы равны по 60°. Имеем:

$CH=AC синус A=2R синус B синус A=$
$=2 умножить на 3 синус в квадрате 60 градусов =6 умножить на дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби =4,5.$ $CH=AC синус A=$
$=2R синус B синус A=2 умножить на 3 синус в квадрате 60 градусов =$
$=6 умножить на дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби =4,5.$ $CH=AC синус A=$
$=2R синус B синус A=$
$=2 умножить на 3 синус в квадрате 60 градусов =$
$=6 умножить на дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби =4,5.$

Ответ: 4,5.

Приведем другое решение.

Центр окружности, описанной вокруг треугольника, лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Если треугольник правильный, в этой же точке пересекаются медианы треугольника (они же биссектрисы и высоты). Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. Следовательно, $OC : OH =2 : 1,$ откуда:

$OH= дробь: числитель: OC, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби =1,5.$

Тогда CH = CO + OH = 3 + 1,5 = 4,5.

Ответ: 4,5

27895

4,5

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

5.1.1 Треугольник;

5.1.5 Вписанная и описанная окружность треугольника;

5.1.7 Вписанная окружность и описанная окружность правильного многоугольника.