РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 12 № 132267 Добавить в вариант

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

3.2.5 Точки экстремума функции;

3.2.6 Наибольшее и наименьшее значения функции;

4.2.1 Применение производной к исследованию функций и построению графиков;

4.2.1.2* Наименьшее (наибольшее) значение функции на границе отрезка;

4.2.1.1* Наименьшее (наибольшее) значение функции во внутренней точке отрезка;

4.2.1.3* Наименьшее (наибольшее) значение функции на бесконечном промежутке;

3.2.1 Монотонность функции. Промежутки возрастания и убывания.

Наибольшее и наименьшее значение функций. Исследование тригонометрических функций

Найдите наименьшее значение функции $y= минус 6x плюс 3 тангенс x плюс 1,5 Пи плюс 12$ на отрезке $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение. Найдем производную заданной функции:

$y'= дробь: числитель: 3, знаменатель: косинус в квадрате x конец дроби минус 6= дробь: числитель: 3 левая круглая скобка 1 минус 2 косинус в квадрате x правая круглая скобка , знаменатель: косинус в квадрате x конец дроби = минус дробь: числитель: 3 косинус 2x, знаменатель: косинус в квадрате x конец дроби .$

Найдем нули производной на заданном отрезке:

$система выражений новая строка 3 косинус 2x=0, новая строка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно x меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби конец системы . равносильно система выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби , k принадлежит Z , минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно x меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби конец системы . равносильно совокупность выражений новая строка x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ; новая строка x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби . конец совокупности .$

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Наименьшим значением функции является меньшее значение из чисел $y левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка$ и $y левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка .$ Сравним их:

$y левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка =3\operatorname тангенс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби минус 1,5 Пи плюс 1,5 Пи плюс 12=15,$

$y левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка = минус 6 умножить на левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка плюс 3 тангенс левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка плюс 1,5 Пи плюс 12=3,5 Пи минус 3 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента плюс 12.$

Заметим, что $y левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка меньше y левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка .$ Следовательно, наименьшим значением функции будет $y левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка =15.$

Ответ: 15.

Ответ: 15

132267