РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 12 № 132263 Добавить в вариант

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

3.2.5 Точки экстремума функции;

3.2.6 Наибольшее и наименьшее значения функции;

4.2.1 Применение производной к исследованию функций и построению графиков;

4.2.1.2* Наименьшее (наибольшее) значение функции на границе отрезка;

4.2.1.1* Наименьшее (наибольшее) значение функции во внутренней точке отрезка;

4.2.1.3* Наименьшее (наибольшее) значение функции на бесконечном промежутке;

3.2.1 Монотонность функции. Промежутки возрастания и убывания.

Наибольшее и наименьшее значение функций. Исследование тригонометрических функций

Найдите наименьшее значение функции $y= минус 4x плюс 2 тангенс x плюс Пи плюс 13$ на отрезке $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение. Найдем производную заданной функции:

$y'= дробь: числитель: 2, знаменатель: косинус в квадрате x конец дроби минус 4= дробь: числитель: минус 2 левая круглая скобка 2 косинус в квадрате x минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: косинус в квадрате x конец дроби = минус дробь: числитель: 2 косинус 2x, знаменатель: косинус в квадрате x конец дроби .$ $y'= дробь: числитель: 2, знаменатель: косинус в квадрате x конец дроби минус 4=$
$= дробь: числитель: минус 2 левая круглая скобка 2 косинус в квадрате x минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: косинус в квадрате x конец дроби = минус дробь: числитель: 2 косинус 2x, знаменатель: косинус в квадрате x конец дроби .$ $y'= дробь: числитель: 2, знаменатель: косинус в квадрате x конец дроби минус 4=$
$= дробь: числитель: минус 2 левая круглая скобка 2 косинус в квадрате x минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: косинус в квадрате x конец дроби =$
$= минус дробь: числитель: 2 косинус 2x, знаменатель: косинус в квадрате x конец дроби .$

Найдем нули производной:

$система выражений новая строка 2 косинус 2x=0, новая строка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно x меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби конец системы . равносильно система выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби ,k принадлежит Z , минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно x меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби конец системы . равносильно совокупность выражений новая строка x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби , новая строка x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби . конец совокупности .$ $система выражений новая строка 2 косинус 2x=0, новая строка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно x меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби ,k принадлежит Z , минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно x меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби конец системы . равносильно совокупность выражений новая строка x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби , новая строка x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби . конец совокупности .$ $система выражений новая строка 2 косинус 2x=0, новая строка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно x меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби ,k принадлежит Z , минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно x меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби конец системы . равносильно$
$равносильно совокупность выражений новая строка x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби , новая строка x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби . конец совокупности .$

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Функция может принимать наименьшее значение в точках $x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби$ или $x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$ Найдем их:

$y левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка =4 умножить на дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби минус 2 тангенс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи плюс 13 = дробь: числитель: 7, знаменатель: 3 конец дроби Пи минус 2 корень из 3 плюс 13 ,$ $y левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка =4 умножить на дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби минус 2 тангенс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи плюс 13 =$
$= дробь: числитель: 7, знаменатель: 3 конец дроби Пи минус 2 корень из 3 плюс 13 ,$ $y левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка =$
$=4 умножить на дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби минус 2 тангенс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи плюс 13 =$
$= дробь: числитель: 7, знаменатель: 3 конец дроби Пи минус 2 корень из 3 плюс 13 ,$

$y левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка = минус 4 умножить на дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 тангенс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи плюс 13=15.$

Поскольку $y левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка больше 7 минус 4 плюс 13 = 16,$ наименьшее из найденных чисел равно 15.

Ответ: 15.

Ответ: 15

132263