Найдите точку максимума функции

$y=0,5x в квадрате минус 13x плюс 30 натуральный логарифм x плюс 8.$

Решение.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

Найдите точку максимума функции $y=2x в квадрате минус 13x плюс 9 натуральный логарифм x плюс 8.$

Заметим, что $y=2x в квадрате минус 13x плюс 9 натуральный логарифм x плюс 8.$ Область определения функции — открытый луч $левая круглая скобка 0; плюс бесконечность правая круглая скобка .$ Найдем производную заданной функции:

$y'=4x минус 13 плюс дробь: числитель: 9, знаменатель: x конец дроби .$

Найдем нули производной:

$4x минус 13 плюс дробь: числитель: 9, знаменатель: x конец дроби =0 равносильно$
$равносильно 4x в квадрате минус 13x плюс 9=0 равносильно совокупность выражений новая строка x=1, новая строка x= дробь: числитель: 9, знаменатель: 4 конец дроби . конец совокупности .$ $4x минус 13 плюс дробь: числитель: 9, знаменатель: x конец дроби =0 равносильно$
$равносильно 4x в квадрате минус 13x плюс 9=0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений новая строка x=1, новая строка x= дробь: числитель: 9, знаменатель: 4 конец дроби . конец совокупности .$

Найденные точки лежит на луче $левая круглая скобка 0; плюс бесконечность правая круглая скобка .$ Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Искомая точка максимума $x=1.$

Ответ: 1.

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

3.2.1 Монотонность функции. Промежутки возрастания и убывания;

3.2.5 Точки экстремума функции;

3.2.6 Наибольшее и наименьшее значения функции;

4.2.1 Применение производной к исследованию функций и построению графиков;

4.2.1.3* Наименьшее (наибольшее) значение функции на бесконечном промежутке.