Задания

Прямая $y=3x минус 5$ является касательной к графику функции $ax в квадрате минус 25x плюс 2.$ Найдите a.

Решение.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

Прямая y = 3x + 1 является касательной к графику функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =$ ax² + 2x + 3. Найдите a.

Прямая $y=kx плюс b$ является касательной к графику функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ в точке $x_0$ тогда и только тогда, когда одновременно $f левая круглая скобка x_0 правая круглая скобка =y левая круглая скобка x_0 правая круглая скобка$ и $f' левая круглая скобка x_0 правая круглая скобка =k.$ В нашем случае имеем:

$система выражений новая строка 2ax_0 плюс 2=3, новая строка ax_0 в квадрате плюс 2x_0 плюс 3=3x_0 плюс 1 конец системы . равносильно система выражений новая строка ax_0=0,5, новая строка 0,5x_0 минус x_0= минус 2 конец системы . равносильно система выражений новая строка a=0,125, новая строка x_0=4. конец системы .$ $система выражений новая строка 2ax_0 плюс 2=3, новая строка ax_0 в квадрате плюс 2x_0 плюс 3=3x_0 плюс 1 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка ax_0=0,5, новая строка 0,5x_0 минус x_0= минус 2 конец системы . равносильно система выражений новая строка a=0,125, новая строка x_0=4. конец системы .$

Искомое значение а равно 0,125.

Ответ: 0,125.

Приведем другое решение.

По смыслу задачи a ≠ 0, а значит, график заданной функции — парабола. Касательная к параболе (а также и к гиперболе) имеет с ней единственную общую точку. Поэтому необходимо и достаточно, чтобы уравнение ax² + 2x + 3 = 3x + 1 имело единственное решение. Для этого дискриминант 1 − 8а уравнения ax² − x + 2 = 0 должен быть равен нулю, откуда $a= дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби =0,125.$

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

4.1.1 Понятие о производной функции, геометрический смысл производной;

4.1.3 Уравнение касательной к графику функции;

4.2.1 Применение производной к исследованию функций и построению графиков.