В тре­уголь­ни­ке ABC угол A равен 60°, угол B равен 82°. AD, BE и CF  — вы­со­ты, пе­ре­се­ка­ю­щи­е­ся в точке O. Най­ди­те угол AOF. Ответ дайте в гра­ду­сах.

На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки изоб­ра­жен тре­уголь­ник ABC. Най­ди­те ска­ляр­ное про­из­ве­де­ние

В сосуд, име­ю­щий форму пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы, на­ли­ли 2300 см³ воды и по­гру­зи­ли в воду де­таль. При этом уро­вень воды под­нял­ся с от­мет­ки 25 см до от­мет­ки 27 см. Най­ди­те объем де­та­ли. Ответ вы­ра­зи­те в см³.

На кон­фе­рен­цию при­е­ха­ли 3 уче­ных из Нор­ве­гии, 3 из Рос­сии и 4 из Ис­па­нии. Каж­дый из них де­ла­ет на кон­фе­рен­ции один до­клад. По­ря­док до­кла­дов опре­де­ля­ет­ся же­ребьёвкой. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что вось­мым ока­жет­ся до­клад уче­но­го из Рос­сии.

В ма­га­зи­не три про­дав­ца. Каж­дый из них занят с кли­ен­том с ве­ро­ят­но­стью 0,3. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в слу­чай­ный мо­мент вре­ме­ни все три про­дав­ца за­ня­ты од­но­вре­мен­но (счи­тай­те, что кли­ен­ты за­хо­дят не­за­ви­си­мо друг от друга).

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

Най­ди­те если и

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции и ка­са­тель­ная к нему в точке с абс­цис­сой x₀. Най­ди­те зна­че­ние про­из­вод­ной функ­ции в точке x₀.

На­блю­да­тель на­хо­дит­ся на вы­со­те h, вы­ра­жен­ной в мет­рах. Рас­сто­я­ние от на­блю­да­те­ля до на­блю­да­е­мой им линии го­ри­зон­та, вы­ра­жен­ное в ки­ло­мет­рах, вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле где км  — ра­ди­ус Земли. С какой вы­со­ты го­ри­зонт виден на рас­сто­я­нии 4 ки­ло­мет­ров? Ответ вы­ра­зи­те в мет­рах.

Пу­те­ше­ствен­ник пе­ре­плыл море на яхте со сред­ней ско­ро­стью 20 км/⁠ч. Об­рат­но он летел на спор­тив­ном са­мо­ле­те со ско­ро­стью 480 км/⁠ч. Най­ди­те сред­нюю ско­рость пу­те­ше­ствен­ни­ка на про­тя­же­нии всего пути. Ответ дайте в км/⁠ч.

На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фи­ки функ­ций видов и пе­ре­се­ка­ю­щи­е­ся в точ­ках A и B. Най­ди­те абс­цис­су точки B.

Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке [−4,5; 0].

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Ос­но­ва­ни­ем пря­мой тре­уголь­ной приз­мы ABCA₁B₁C₁ яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABC с пря­мым углом C. Пря­мые CA₁ и AB₁ пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

а)  До­ка­жи­те, что AA₁  =  AC.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми CA₁ и AB₁, если AC  =  6, BC  =  3.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

В июле 2016 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на три года в раз­ме­ре S млн руб­лей, где S  — целое число. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

—  каж­дый ян­варь долг уве­ли­чи­ва­ет­ся на 25% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

—  с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить одним пла­те­жом часть долга;

—  в июле каж­до­го года долг дол­жен со­став­лять часть кре­ди­та в со­от­вет­ствии со сле­ду­ю­щей таб­ли­цей.

Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние S, при ко­то­ром каж­дая из вы­плат будет боль­ше 5 млн руб­лей.

В тра­пе­ции ABCD с ос­но­ва­ни­я­ми ВС и AD углы ABD и ACD пря­мые.

а)  До­ка­жи­те, что АВ  =  CD.

б)  Най­ди­те AD, если AB  =  2, BC  =  7.

Най­ди­те все зна­че­ния а, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно один ко­рень на от­рез­ке

На доске на­пи­са­но число 2015 и еще не­сколь­ко (не менее двух) на­ту­раль­ных чисел, не пре­вос­хо­дя­щих 5000. Все на­пи­сан­ные на доске числа раз­лич­ны. Сумма любых двух из на­пи­сан­ных чисел де­лит­ся на какое-⁠ни­будь из осталь­ных.

а)  Может ли на доске быть на­пи­са­но ровно 1009 чисел?

б)  Может ли на доске быть на­пи­са­но ровно пять чисел?

в)  Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство чисел может быть на­пи­са­но на доске?