В тре­уголь­ни­ке ABC угол C равен 90°, ВС  =  2. Най­ди­те АС.

На ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти изоб­ра­же­ны век­то­ры и Най­ди­те ска­ляр­ное про­из­ве­де­ние

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са в два раза боль­ше пло­ща­ди ос­но­ва­ния. Най­ди­те угол между об­ра­зу­ю­щей ко­ну­са и плос­ко­стью ос­но­ва­ния. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Про­во­дит­ся же­ребьёвка Лиги Чем­пи­о­нов. На пер­вом этапе же­ребьёвки во­семь ко­манд, среди ко­то­рых ко­ман­да «Бар­се­ло­на», рас­пре­де­ли­лись слу­чай­ным об­ра­зом по вось­ми иг­ро­вым груп­пам  — по одной ко­ман­де в груп­пу. Затем по этим же груп­пам слу­чай­ным об­ра­зом рас­пре­де­ля­ют­ся еще во­семь ко­манд, среди ко­то­рых ко­ман­да «Зенит». Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что ко­ман­ды «Бар­се­ло­на» и «Зенит» ока­жут­ся в одной иг­ро­вой груп­пе.

Ве­ро­ят­ность того, что в слу­чай­ный мо­мент вре­ме­ни тем­пе­ра­ту­ра тела здо­ро­во­го че­ло­ве­ка ока­жет­ся ниже чем  равна 0,81. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в слу­чай­ный мо­мент вре­ме­ни у здо­ро­во­го че­ло­ве­ка тем­пе­ра­ту­ра ока­жет­ся  или выше.

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния если

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции y  =  f(x) и от­ме­че­ны семь точек на оси абс­цисс: x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆, x₇. В сколь­ких из этих точек про­из­вод­ная функ­ции f(x) от­ри­ца­тель­на?

При сбли­же­нии ис­точ­ни­ка и приёмника зву­ко­вых сиг­на­лов дви­жу­щих­ся в не­ко­то­рой среде по пря­мой нав­стре­чу друг другу ча­сто­та зву­ко­во­го сиг­на­ла, ре­ги­стри­ру­е­мо­го приeмни­ком, не сов­па­да­ет с ча­сто­той ис­ход­но­го сиг­на­ла Гц и опре­де­ля­ет­ся сле­ду­ю­щим вы­ра­же­ни­ем: (Гц), где c  — ско­рость рас­про­стра­не­ния сиг­на­ла в среде (в м/с), а м/с и м/с  — ско­ро­сти приeмника и ис­точ­ни­ка от­но­си­тель­но среды со­от­вет­ствен­но. При какой мак­си­маль­ной ско­ро­сти c (в м/с) рас­про­стра­не­ния сиг­на­ла в среде ча­сто­та сиг­на­ла в приeмнике f будет не менее 160 Гц?

В 2008 году в го­род­ском квар­та­ле про­жи­ва­ло че­ло­век. В 2009 году, в ре­зуль­та­те стро­и­тель­ства новых домов, число жи­те­лей вы­рос­ло на а в 2010 году на по срав­не­нию с 2009 годом. Сколь­ко че­ло­век стало про­жи­вать в квар­та­ле в 2010 году?

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции вида Най­ди­те зна­че­ние x, при ко­то­ром

Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те его корни на про­ме­жут­ке

а)  Дан пря­мо­уголь­ный па­рал­ле­ле­пи­пед ABCDA₁B₁C₁D₁. До­ка­жи­те, что все грани тет­ра­эд­ра ACB₁D₁  — рав­ные тре­уголь­ни­ки (тет­ра­эдр, об­ла­да­ю­щий таким свой­ством, на­зы­ва­ют рав­но­гран­ным).

б)  В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ най­ди­те угол между плос­ко­стью A₁BC и пря­мой BC₁, если AA₁  =  8, AB  =  6, BC  =  15.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

В июле пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на сумму 18 млн руб­лей на не­ко­то­рый срок (целое число лет). Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

—  каж­дый ян­варь долг воз­рас­та­ет на 10% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

—  с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

—  в июле каж­до­го года долг дол­жен быть на одну и ту же сумму мень­ше долга на июль преды­ду­ще­го года.

На сколь­ко лет был взят кре­дит, если общая сумма вы­плат после пол­но­го по­га­ше­ния кре­ди­та со­ста­ви­ла 27 млн руб­лей?

В тре­уголь­ни­ке АВС угол АВС равен 60°. Окруж­ность, впи­сан­ная в тре­уголь­ник, ка­са­ет­ся сто­ро­ны AC в точке M.

а)  До­ка­жи­те, что от­ре­зок BM не боль­ше утро­ен­но­го ра­ди­у­са впи­сан­ной в тре­уголь­ник окруж­но­сти.

б)  Най­ди­те если из­вест­но, что от­ре­зок ВМ в 2,5 раза боль­ше ра­ди­у­са впи­сан­ной в тре­уголь­ник окруж­но­сти.

Най­ди­те все зна­че­ния а, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма

не имеет ре­ше­ний.

В шах­ма­ты можно вы­иг­рать, про­иг­рать или сыг­рать вни­чью. Шах­ма­тист за­пи­сы­ва­ет ре­зуль­тат каж­дой сыг­ран­ной им пар­тии и после каж­дой пар­тии под­счи­ты­ва­ет три по­ка­за­те­ля: «по­бе­ды»  — про­цент побед, округлённый до це­ло­го, «ничьи»  — про­цент ни­чьих, округлённый до це­ло­го, и «по­ра­же­ния», рав­ные раз­но­сти 100 и суммы по­ка­за­те­лей «побед» и «ни­чьих». (На­при­мер, число 13,2 округ­ля­ет­ся до 13, число 14,5 округ­ля­ет­ся до 15, число 16,8 округ­ля­ет­ся до 17).

а)  Может ли в какой-⁠то мо­мент по­ка­за­тель «побед» рав­нять­ся 17, если было сыг­ра­но менее 50 пар­тий?

б)  Может ли после вы­иг­ран­ной пар­тии уве­ли­чить­ся по­ка­за­тель «по­ра­же­ний»?

в)  Одна из пар­тий была про­иг­ра­на. При каком наи­мень­шем ко­ли­че­стве сыг­ран­ных пар­тий по­ка­за­тель «по­ра­же­ний» может быть рав­ным 1?