Сто­ро­на пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка равна Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около этого тре­уголь­ни­ка.

Даны век­то­ры и Най­ди­те ко­си­нус угла между ними.

Объем пер­во­го шара в 27 раз боль­ше объ­е­ма вто­ро­го. Во сколь­ко раз пло­щадь по­верх­но­сти пер­во­го шара боль­ше пло­ща­ди по­верх­но­сти вто­ро­го?

Для под­твер­жде­ния скид­ки ма­га­зин от­прав­ля­ет по­ку­па­те­лю на те­ле­фон со­об­ще­ние с трёхзнач­ным кодом, ровно две из цифр ко­то­ро­го сов­па­да­ют. У Пети раз­ря­жен те­ле­фон. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что он слу­чай­но уга­да­ет код? Ответ округ­ли­те до ты­сяч­ных.

В одном ре­сто­ра­не в г. Там­бо­ве ад­ми­ни­стра­тор пред­ла­га­ет го­стям сыг­рать в «Шеш-⁠беш»: гость бро­са­ет од­но­вре­мен­но две иг­раль­ные кости. Если он вы­бро­сит ком­би­на­цию 5 и 6 очков хотя бы один раз из двух по­пы­ток, то по­лу­чит ком­пле­мент от ре­сто­ра­на: чашку кофе или де­серт бес­плат­но. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность по­лу­чить ком­пле­мент? Ре­зуль­тат округ­ли­те до сотых.

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

Най­ди­те если

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик   — про­из­вод­ной функ­ции f(x). На оси абс­цисс от­ме­че­ны во­семь точек: x₁, x₂, x₃, ..., x₈. Сколь­ко из этих точек лежит на про­ме­жут­ках воз­рас­та­ния функ­ции f(x)?

Плос­кий за­мкну­тый кон­тур пло­ща­дью на­хо­дит­ся в маг­нит­ном поле, ин­дук­ция ко­то­ро­го рав­но­мер­но воз­рас­та­ет. При этом со­глас­но за­ко­ну элек­тро­маг­нит­ной ин­дук­ции Фа­ра­дея в кон­ту­ре по­яв­ля­ет­ся ЭДС ин­дук­ции, зна­че­ние ко­то­рой, вы­ра­жен­ное в воль­тах, опре­де­ля­ет­ся фор­му­лой где α  — ост­рый угол между на­прав­ле­ни­ем маг­нит­но­го поля и пер­пен­ди­ку­ля­ром к кон­ту­ру,   — по­сто­ян­ная, S  — пло­щадь за­мкну­то­го кон­ту­ра, на­хо­дя­ще­го­ся в маг­нит­ном поле  (в  м²). При каком ми­ни­маль­ном угле α  (в  гра­ду­сах) ЭДС ин­дук­ции не будет пре­вы­шать

Сме­ша­ли 4 литра 15-⁠про­цент­но­го вод­но­го рас­тво­ра не­ко­то­ро­го ве­ще­ства с 6 лит­ра­ми 25-⁠про­цент­но­го вод­но­го рас­тво­ра этого же ве­ще­ства. Сколь­ко про­цен­тов со­став­ля­ет кон­цен­тра­ция по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра?

Ко­неч­но, вме­сто лит­ров сле­до­ва­ло бы го­во­рить о ки­ло­грам­мах рас­тво­ров.

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции Най­ди­те

Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ из­вест­ны рёбра AB  =  35, AD  =  12, CC₁  =  21.

а)  До­ка­жи­те, что вы­со­ты тре­уголь­ни­ков ABD и A₁BD, про­ведённые к сто­ро­не BD, имеют общее ос­но­ва­ние.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми ABC и A₁DB.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

В июле 2018 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

—  каж­дый ян­варь долг уве­ли­чи­ва­ет­ся на 20% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

—  с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить одним пла­те­жом часть долга.

Сколь­ко руб­лей не­об­хо­ди­мо взять в банке, если из­вест­но, что кре­дит будет пол­но­стью по­га­шен че­тырь­мя рав­ны­ми пла­те­жа­ми, и банку будет вы­пла­че­но 311 040 руб­лей?

Точка I  — центр окруж­но­сти S₁, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC, точка O  — центр окруж­но­сти S₂, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка BIC.

а)  До­ка­жи­те, что точка O лежит на окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC.

б)  Най­ди­те ко­си­нус угла BAC, если ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC от­но­сит­ся к ра­ди­у­су окруж­но­сти S₂ как 3 : 5.

Най­ди­те все зна­че­ния а, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма

имеет хотя бы одно ре­ше­ние.

Вася пе­ре­мно­жил не­сколь­ко раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел из от­рез­ка [23; 84]. Петя уве­ли­чил каж­дое из Ва­си­ных чисел на 1 и пе­ре­мно­жил все по­лу­чен­ные числа.

а)  Может ли Петин ре­зуль­тат быть ровно вдвое боль­ше Ва­си­но­го?

б)  Может ли Петин ре­зуль­тат быть ровно в 6 раз боль­ше Ва­си­но­го?

в)  В какое наи­боль­шее целое число раз Петин ре­зуль­тат может быть боль­ше Ва­си­но­го?