Хорда AB делит окруж­ность на две части, гра­дус­ные ве­ли­чи­ны ко­то­рых от­но­сят­ся как 5 : 7. Под каким углом видна эта хорда из точки C, при­над­ле­жа­щей мень­шей дуге окруж­но­сти? Ответ дайте в гра­ду­сах.

Век­тор  с на­ча­лом в точке A(3; 6) имеет ко­ор­ди­на­ты (9; 3). Най­ди­те сумму ко­ор­ди­нат точки B.

Через сред­нюю линию ос­но­ва­ния тре­уголь­ной приз­мы про­ве­де­на плос­кость, па­рал­лель­ная бо­ко­во­му ребру. Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти от­се­чен­ной тре­уголь­ной приз­мы равна 8. Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ис­ход­ной приз­мы.

В чем­пи­о­на­те по гим­на­сти­ке участ­ву­ют 20 спортс­ме­нок: 8 из Рос­сии, 7 из США, осталь­ные из Китая. По­ря­док, в ко­то­ром вы­сту­па­ют гим­наст­ки, опре­де­ля­ет­ся жре­би­ем. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что спортс­мен­ка, вы­сту­па­ю­щая пер­вой, ока­жет­ся из Китая.

Стре­лок стре­ля­ет по 4 оди­на­ко­вым ми­ше­ням по од­но­му разу, ве­ро­ят­ность про­ма­ха 0,2, най­ди­те ве­ро­ят­ность что он попадёт в первую ми­шень, а в 3 остав­ши­е­ся про­мах­нет­ся.

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния:

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−11; 11). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек экс­тре­му­ма функ­ции f(x) на от­рез­ке [−10; 10].

Го­ноч­ный ав­то­мо­биль раз­го­ня­ет­ся на пря­мо­ли­ней­ном участ­ке шоссе с по­сто­ян­ным уско­ре­ни­ем a км/⁠ч². Ско­рость в конце пути вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле где l  — прой­ден­ный ав­то­мо­би­лем путь в км. Опре­де­ли­те уско­ре­ние, с ко­то­рым дол­жен дви­гать­ся ав­то­мо­биль, чтобы, про­ехав 250 мет­ров, при­об­ре­сти ско­рость 60 км/⁠ч. Ответ вы­ра­зи­те в км/⁠ч².

Петя и Ваня вы­пол­ня­ют оди­на­ко­вый тест. Петя от­ве­ча­ет за час на 8 во­про­сов теста, а Ваня  — на 9. Они од­но­вре­мен­но на­ча­ли от­ве­чать на во­про­сы теста, и Петя за­кон­чил свой тест позже Вани на 20 минут. Сколь­ко во­про­сов со­дер­жит тест?

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции вида где числа a, b и c  — целые. Най­ди­те

Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де SABCD сто­ро­на ос­но­ва­ния AB равна бо­ко­во­му ребру SA. Ме­ди­а­ны тре­уголь­ни­ка  SBC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке M.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Точка N  — се­ре­ди­на AM. Най­ди­те SN, если

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Семья Ива­но­вых еже­ме­сяч­но вно­сит плату за ком­му­наль­ные услу­ги, те­ле­фон и элек­три­че­ство. Если бы ком­му­наль­ные услу­ги по­до­ро­жа­ли на 50%, то общая сумма пла­те­жа уве­ли­чи­лась бы на 35%. Если бы элек­три­че­ство по­до­ро­жа­ло на 50%, то общая сумма пла­те­жа уве­ли­чи­лась бы на 10%. Какой про­цент от общей суммы пла­те­жа при­хо­дит­ся на те­ле­фон?

Точка Е  — се­ре­ди­на сто­ро­ны BС квад­ра­та АВСD. Се­ре­дин­ные пер­пен­ди­ку­ля­ры к от­рез­кам АЕ и ЕС пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те BO : OD.

Най­ди­те все зна­че­ния а, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма не­ра­венств

имеет хотя бы одно ре­ше­ние на от­рез­ке [3; 4].

На доске на­пи­са­но не­сколь­ко раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, про­из­ве­де­ние любых двух из ко­то­рых боль­ше 40 и мень­ше 100.

а)  Может ли на доске быть 5 чисел?

б)  Может ли на доске быть 6 чисел?

в)  Какое наи­боль­шее зна­че­ние может при­ни­мать сумма чисел на доске, если их че­ты­ре?