Най­ди­те угол ACB, если впи­сан­ные углы ADB и DAE опи­ра­ют­ся на дуги окруж­но­сти, гра­дус­ные ве­ли­чи­ны ко­то­рых равны со­от­вет­ствен­но 118° и 38°. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Сто­ро­ны пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка ABC равны 3. Най­ди­те длину век­то­ра

Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся точки A, B, C, пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да у ко­то­ро­го

В ко­роб­ке лежат крас­ные пу­го­ви­цы, столь­ко же белых, 18 жёлтых и 36 зелёных  — всего 100 пу­го­виц. Порт­ной достаёт из ко­роб­ки одну слу­чай­ную пу­го­ви­цу. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что она ока­жет­ся крас­ной или жёлтой?

Пла­теж­ный тер­ми­нал в те­че­ние ра­бо­че­го дня может выйти из строя. Ве­ро­ят­ность этого со­бы­тия 0,07. В тор­го­вом цен­тре не­за­ви­си­мо друг от друга ра­бо­та­ют два таких платёжных тер­ми­на­ла. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что хотя бы один из них в те­че­ние ра­бо­че­го дня будет ис­пра­вен.

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния Если урав­не­ние имеет более од­но­го корня, в от­ве­те за­пи­ши­те мень­ший из кор­ней.

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фик функ­ции и ка­са­тель­ная к этому гра­фи­ку, про­ведённая в точке x₀. Най­ди­те зна­че­ние про­из­вод­ной функ­ции g(x)  =  6f(x) − 3x в точке x₀.

Кам­не­ме­та­тель­ная ма­ши­на вы­стре­ли­ва­ет камни под не­ко­то­рым ост­рым углом к го­ри­зон­ту. Тра­ек­то­рия полeта камня опи­сы­ва­ет­ся фор­му­лой где  м   — по­сто­ян­ные па­ра­мет­ры,   — сме­ще­ние камня по го­ри­зон­та­ли,   — вы­со­та камня над землeй. На каком наи­боль­шем рас­сто­я­нии (в мет­рах) от кре­пост­ной стены вы­со­той 8 м нужно рас­по­ло­жить ма­ши­ну, чтобы камни про­ле­та­ли над сте­ной на вы­со­те не менее 1 метра?

Два че­ло­ве­ка от­прав­ля­ют­ся из од­но­го дома на про­гул­ку до опуш­ки леса, на­хо­дя­щей­ся в 4,4 км от дома. Один идёт со ско­ро­стью 2,5 км/⁠ч, а дру­гой  — со ско­ро­стью 3 км/⁠ч. Дойдя до опуш­ки, вто­рой с той же ско­ро­стью воз­вра­ща­ет­ся об­рат­но. На каком рас­сто­я­нии от дома про­изойдёт их встре­ча? Ответ дайте в ки­ло­мет­рах.

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции где a и b  — целые числа. Най­ди­те

Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Се­че­ни­ем пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA₁B₁C₁D₁ плос­ко­стью α со­дер­жа­щей пря­мую BD₁ и па­рал­лель­ной пря­мой AC, яв­ля­ет­ся ромб.

а)  До­ка­жи­те, что грань ABCD  — квад­рат.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми α и BCC₁, если AA₁  =  6, AB  =  4.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

15-го де­каб­ря пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на 21 месяц. Усло­вия воз­вра­та та­ко­вы:

—  1-⁠го числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­рас­та­ет на 3% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

—  со 2-⁠го по 14-⁠е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

—  15-⁠го числа каж­до­го ме­ся­ца с 1-⁠го по 20-⁠й долг дол­жен быть на 30 тысяч руб­лей мень­ше долга на 15-⁠е число преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

—  к 15-⁠му числу 21-⁠го ме­ся­ца кре­дит дол­жен быть пол­но­стью по­га­шен.

Какую сумму пла­ни­ру­ет­ся взять в кре­дит, если общая сумма вы­плат после пол­но­го его по­га­ше­ния со­ста­вит 1604 тысяч руб­лей?

Дана тра­пе­ция ABCD с ос­но­ва­ни­я­ми AD и ВС, при­чем и точка M внут­ри тра­пе­ции, такая, что

а)  До­ка­жи­те, что АM  =  DM.

б)  Най­ди­те угол BAD, если угол CDA равен 50°, а вы­со­та, про­ведённая из точки M к АD, равна BC.

Най­ди­те все зна­че­ния k, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

а)  Можно ли число 2014 пред­ста­вить в виде суммы двух раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел с оди­на­ко­вой сум­мой цифр?

б)  Можно ли число 199 пред­ста­вить в виде суммы двух раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел с оди­на­ко­вой сум­мой цифр?

в)  Най­ди­те наи­мень­шее на­ту­раль­ное число, ко­то­рое можно пред­ста­вить в виде суммы пяти раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел с оди­на­ко­вой сум­мой цифр.