Най­ди­те пло­щадь ромба, если его вы­со­та равна 2, а ост­рый угол 30°.

Най­ди­те длину век­то­ра если

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти тре­уголь­ной приз­мы равна 24. Через сред­нюю линию ос­но­ва­ния приз­мы про­ве­де­на плос­кость, па­рал­лель­ная бо­ко­во­му ребру. Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти отсечённой тре­уголь­ной приз­мы.

На рок-фе­сти­ва­ле вы­сту­па­ют груп­пы  — по одной от каж­дой из за­яв­лен­ных стран. По­ря­док вы­ступ­ле­ния опре­де­ля­ет­ся жре­би­ем. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что груп­па из Дании будет вы­сту­пать после груп­пы из Шве­ции и после груп­пы из Нор­ве­гии? Ре­зуль­тат округ­ли­те до сотых.

В ящике че­ты­ре крас­ных и два синих фло­ма­сте­ра. Фло­ма­сте­ры вы­тас­ки­ва­ют по оче­ре­ди в слу­чай­ном по­ряд­ке. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что пер­вый раз синий фло­ма­стер по­явит­ся тре­тьим по счету?

Ре­ши­те урав­не­ние

Най­ди­те если

На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фик функ­ции и ка­са­тель­ная к нему в точке с абс­цис­сой Най­ди­те зна­че­ние про­из­вод­ной функ­ции в точке

Для сма­ты­ва­ния ка­бе­ля на за­во­де ис­поль­зу­ют лебeдку, ко­то­рая рав­но­уско­рен­но на­ма­ты­ва­ет ка­бель на ка­туш­ку. Угол, на ко­то­рый по­во­ра­чи­ва­ет­ся ка­туш­ка, из­ме­ня­ет­ся со вре­ме­нем по за­ко­ну где t  — время в ми­ну­тах, мин  — на­чаль­ная уг­ло­вая ско­рость вра­ще­ния ка­туш­ки, а мин²  — уг­ло­вое уско­ре­ние, с ко­то­рым на­ма­ты­ва­ет­ся ка­бель. Ра­бо­чий дол­жен про­ве­рить ход его на­мот­ки не позже того мо­мен­та, когда угол на­мот­ки до­стиг­нет Опре­де­ли­те время после на­ча­ла ра­бо­ты лебeдки, не позже ко­то­ро­го ра­бо­чий дол­жен про­ве­рить еe ра­бо­ту. Ответ вы­ра­зи­те в ми­ну­тах.

Мо­тор­ная лодка в 10:00 вышла из пунк­та А в пункт В, рас­по­ло­жен­ный в 30 км от А. Про­быв в пунк­те В 2 часа 30 минут, лодка от­пра­ви­лась назад и вер­ну­лась в пункт А в 18:00 того же дня. Опре­де­ли­те (в км/ч) соб­ствен­ную ско­рость лодки, если из­вест­но, что ско­рость те­че­ния реки 1 км/⁠ч.

На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фи­ки функ­ций и ко­то­рые пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках A и B. Най­ди­те абс­цис­су точки B.

Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Дана пра­виль­ная приз­ма ABCA₁B₁C₁, у ко­то­рой сто­ро­на ос­но­ва­ния AB  =  4, а бо­ко­вое ребро AA₁  =  9. Точка  M  — се­ре­ди­на ребра AC, а на ребре AA₁ взята точка T так, что AT  =  5.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость BB₁M делит от­ре­зок C₁T по­по­лам.

б)  Плос­кость BTC₁ делит от­ре­зок MB₁ на две части. Най­ди­те длину мень­шей из них.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Стро­и­тель­ство но­во­го за­во­да стоит 159 млн руб­лей. За­тра­ты на про­из­вод­ство х тыс. ед. про­дук­ции на таком за­во­де равны млн руб­лей в год. Если про­дук­цию за­во­да про­дать по цене р тыс. руб­лей за еди­ни­цу, то при­быль фирмы (в млн руб­лей) за один год со­ста­вит Когда завод будет по­стро­ен, фирма будет вы­пус­кать про­дук­цию в таком ко­ли­че­стве, чтобы при­быль была наи­боль­шей. При этом в пер­вый год p  =  10, а далее каж­дый год воз­рас­та­ет на 1. За сколь­ко лет оку­пит­ся стро­и­тель­ство?

Две окруж­но­сти ка­са­ют­ся внут­рен­ним об­ра­зом в точке A, причём мень­шая про­хо­дит через центр боль­шей. Хорда BC боль­шей окруж­но­сти ка­са­ет­ся мень­шей в точке P. Хорды AB и AC пе­ре­се­ка­ют мень­шую окруж­ность в точ­ках K и M со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые KM и BC па­рал­лель­ны.

б)  Пусть L  — точка пе­ре­се­че­ния от­рез­ков KM и AP. Най­ди­те AL, если ра­ди­ус боль­шей окруж­но­сти равен 10, а BC  =  16.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма не­ра­венств

имеет хотя бы одно ре­ше­ние на от­рез­ке [−1; 0].

На доске на­пи­са­ны числа 2 и 3. За один ход два числа a и b, за­пи­сан­ных на доске за­ме­ня­ет­ся на два числа: a + b и 2a − 1 или a + b и 2b − 1.

При­мер: числа 2 и 3 за­ме­ня­ют­ся на 3 и 5, на 5 и 5 со­от­вет­ствен­но.

а)  При­ве­ди­те при­мер по­сле­до­ва­тель­но­сти ходов, после ко­то­рых одно из чисел, на­пи­сан­ных на доске, ока­жет­ся чис­лом 19.

б)  Может ли после 50 ходов одно из двух чисел, на­пи­сан­ных на доске, ока­зать­ся чис­лом 100?

в)  Сде­ла­ли 2015 ходов, причём на доске ни­ко­гда не было на­пи­са­но од­но­вре­мен­но двух рав­ных чисел. Какое наи­мень­шее зна­че­ние может при­ни­мать раз­ность боль­ше­го и мень­ше­го из по­лу­чен­ных чисел?