У тре­уголь­ни­ка со сто­ро­на­ми 9 и 6 про­ве­де­ны вы­со­ты к этим сто­ро­нам. Вы­со­та, про­ве­ден­ная к пер­вой сто­ро­не, равна 4. Чему равна вы­со­та, про­ве­ден­ная ко вто­рой сто­ро­не?

Даны век­то­ры и Най­ди­те длину век­то­ра

Если каж­дое ребро куба уве­ли­чить на 1, то его объем уве­ли­чит­ся на 19. Най­ди­те ребро куба.

В чем­пи­о­на­те мира участ­ву­ют 16 ко­манд. С по­мо­щью жре­бия их нужно раз­де­лить на че­ты­ре груп­пы по че­ты­ре ко­ман­ды в каж­дой. В ящике впе­ре­меш­ку лежат кар­точ­ки с но­ме­ра­ми групп:

Ка­пи­та­ны ко­манд тянут по одной кар­точ­ке. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что ко­ман­да Рос­сии ока­жет­ся во вто­рой груп­пе?

При из­го­тов­ле­нии под­шип­ни­ков диа­мет­ром 67 мм ве­ро­ят­ность того, что диа­метр будет от­ли­чать­ся от за­дан­но­го не боль­ше чем на 0,01 мм, равна 0,965. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­ный под­шип­ник будет иметь диа­метр мень­ше чем 66,99 мм или боль­ше чем 67,01 мм.

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

Най­ди­те если и

Ма­те­ри­аль­ная точка дви­жет­ся пря­мо­ли­ней­но по за­ко­ну (где x  — рас­сто­я­ние от точки от­сче­та в мет­рах, t  — время в се­кун­дах, из­ме­рен­ное с на­ча­ла дви­же­ния). В какой мо­мент вре­ме­ни (в се­кун­дах) ее ско­рость была равна 3 м/⁠с?

В ходе рас­па­да ра­дио­ак­тив­но­го изо­то­па его масса умень­ша­ет­ся по за­ко­ну где   — на­чаль­ная масса изо­то­па, t  — время, про­шед­шее от на­чаль­но­го мо­мен­та, T  — пе­ри­од по­лу­рас­па­да. В на­чаль­ный мо­мент вре­ме­ни масса изо­то­па 40 мг. Пе­ри­од его по­лу­рас­па­да со­став­ля­ет 10 мин. Най­ди­те, через сколь­ко минут масса изо­то­па будет равна 5 мг.

Игорь и Паша кра­сят забор за 9 часов. Паша и Во­ло­дя кра­сят этот же забор за 12 часов, а Во­ло­дя и Игорь  — за 18 часов. За сколь­ко часов маль­чи­ки по­кра­сят забор, ра­бо­тая втро­ем?

На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фи­ки функ­ций и ко­то­рые пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках A и B. Най­ди­те абс­цис­су точки B.

Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной приз­ме АВСDА₁В₁С₁D₁ сто­ро­на АВ ос­но­ва­ния равна 6, а бо­ко­вое ребро АА₁ равно На реб­рах BC и C₁D₁ от­ме­че­ны точки К и L со­от­вет­ствен­но, причём ВК  =  4, C₁L  =  5. Плос­кость γ па­рал­лель­на пря­мой BD и со­дер­жит точки К и L.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая AC₁ пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти γ.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки B₁ до плос­ко­сти γ.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

15-го ян­ва­ря пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на не­ко­то­рый срок (целое число ме­ся­цев). Усло­вие его вы­пла­ты та­ко­вы:

—  1-⁠го числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­рас­та­ет на 3% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

—  со 2-⁠го по 14-⁠е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

—  15-⁠го числа каж­до­го ме­ся­ца долг дол­жен быть на одну и ту же сумму мень­ше долга на 15-⁠е число преды­ду­ще­го ме­ся­ца.

На сколь­ко ме­ся­цев пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит, если из­вест­но, что общая сумма вы­плат после пол­но­го по­га­ше­ния кре­ди­та на 30% боль­ше суммы, взя­той в кре­дит?

К окруж­но­сти, впи­сан­ной в квад­рат ABCD, про­ве­де­на ка­са­тель­ная, пе­ре­се­ка­ю­щая сто­ро­ны AB и AD в точ­ках M и N со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка AMN равен сто­ро­не квад­ра­та.

б)  Пря­мая MN пе­ре­се­ка­ет пря­мую CD в точке P. В каком от­но­ше­нии делит сто­ро­ну BC пря­мая, про­хо­дя­щая через точку P и центр окруж­но­сти, если AM : MB  =  1 : 3?

Най­ди­те все зна­че­ния а, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние имеет един­ствен­ный ко­рень.

Верно ли, что для лю­бо­го на­бо­ра по­ло­жи­тель­ных чисел, каж­дое из ко­то­рых не пре­вос­хо­дит 11, а сумма ко­то­рых боль­ше 110, все­гда можно вы­брать не­сколь­ко чисел так, чтобы их сумма была не боль­ше 110, но боль­ше: 

а)  99;

б)  101;

в)  100.