Пря­мая, про­ве­ден­ная па­рал­лель­но бо­ко­вой сто­ро­не тра­пе­ции через конец мень­ше­го ос­но­ва­ния, рав­но­го 4, от­се­ка­ет тре­уголь­ник, пе­ри­метр ко­то­ро­го равен 15. Най­ди­те пе­ри­метр тра­пе­ции.

Даны век­то­ры и Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся точки B, C пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы пло­щадь ос­но­ва­ния ко­то­рой равна 4, а бо­ко­вое ребро равно 3.

На­уч­ная кон­фе­рен­ция про­во­дит­ся в 5 дней. Всего за­пла­ни­ро­ва­но 75 до­кла­дов  — пер­вые три дня по 17 до­кла­дов, осталь­ные рас­пре­де­ле­ны по­ров­ну между чет­вер­тым и пятым днями. По­ря­док до­кла­дов опре­де­ля­ет­ся же­ребьёвкой. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность, что до­клад про­фес­со­ра М. ока­жет­ся за­пла­ни­ро­ван­ным на по­след­ний день кон­фе­рен­ции?

На эк­за­ме­не по гео­мет­рии школь­ник от­ве­ча­ет на один во­прос из спис­ка эк­за­ме­на­ци­он­ных во­про­сов. Ве­ро­ят­ность того, что это во­прос по теме «Впи­сан­ная окруж­ность», равна 0,2. Ве­ро­ят­ность того, что это во­прос по теме «Па­рал­ле­ло­грамм», равна 0,15. Во­про­сов, ко­то­рые од­но­вре­мен­но от­но­сят­ся к этим двум темам, нет. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что на эк­за­ме­не школь­ни­ку до­ста­нет­ся во­прос по одной из этих двух тем.

Ре­ши­те урав­не­ние

Най­ди­те если

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции y  =  f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−2; 12). Най­ди­те сумму точек экс­тре­му­ма функ­ции f(x).

Ко­эф­фи­ци­ент по­лез­но­го дей­ствия (КПД) кор­мо­за­пар­ни­ка равен от­но­ше­нию ко­ли­че­ства теп­ло­ты, за­тра­чен­но­го на на­гре­ва­ние воды мас­сой m_в (в ки­ло­грам­мах) от тем­пе­ра­ту­ры t₁ до тем­пе­ра­ту­ры t₂ (в гра­ду­сах Цель­сия) к ко­ли­че­ству теп­ло­ты, по­лу­чен­но­му от сжи­га­ния дров массы m_др кг. Он опре­де­ля­ет­ся фор­му­лой где   — теплоёмкость воды,   — удель­ная теп­ло­та сго­ра­ния дров. Опре­де­ли­те наи­мень­шее ко­ли­че­ство дров, ко­то­рое по­на­до­бит­ся сжечь в кор­мо­за­пар­ни­ке, чтобы на­греть m_в  =  83 кг воды от 10 °C до 100 °C, если из­вест­но, что КПД кор­мо­за­пар­ни­ка не боль­ше 21%. Ответ вы­ра­зи­те в ки­ло­грам­мах.

Из одной точки кру­го­вой трас­сы, длина ко­то­рой равна 14 км, од­но­вре­мен­но в одном на­прав­ле­нии стар­то­ва­ли два ав­то­мо­би­ля. Ско­рость пер­во­го ав­то­мо­би­ля равна 80 км/⁠ч, и через 40 минут после стар­та он опе­ре­жал вто­рой ав­то­мо­биль на один круг. Най­ди­те ско­рость вто­ро­го ав­то­мо­би­ля. Ответ дайте в км/⁠ч.

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции Най­ди­те, при каком зна­че­нии x зна­че­ние функ­ции равно 0,8.

Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ рёбра равны 1. На про­дол­же­нии от­рез­ка A₁C₁ за точку C₁ от­ме­че­на точка M так, что A₁C₁  =  C₁M, а на про­дол­же­нии от­рез­ка B₁C за точку C от­ме­че­на точка N так, что B₁C  =  CN.

а)  До­ка­жи­те, что MN  =  MB₁.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми B₁C₁ и MN.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Ана­то­лий решил взять кре­дит в банке 331 000 руб­лей на 3 ме­ся­ца под 10% в месяц. Су­ще­ству­ют две схемы вы­пла­ты кре­ди­та.

По пер­вой схеме банк в конце каж­до­го ме­ся­ца на­чис­ля­ет про­цен­ты на остав­шу­ю­ся сумму долга (то есть уве­ли­чи­ва­ет долг на 10%), затем Ана­то­лий пе­ре­во­дит в банк фик­си­ро­ван­ную сумму и в ре­зуль­та­те вы­пла­чи­ва­ет весь долг тремя рав­ны­ми пла­те­жа­ми (ан­ну­и­тет­ные пла­те­жи).

По вто­рой схеме тоже сумма долга в конце каж­до­го ме­ся­ца уве­ли­чи­ва­ет­ся на 10%, а затем умень­ша­ет­ся на сумму, упла­чен­ную Ана­то­ли­ем. Суммы, вы­пла­чи­ва­е­мые в конце каж­до­го ме­ся­ца, под­би­ра­ют­ся так, чтобы в ре­зуль­та­те сумма долга каж­дый месяц умень­ша­лась рав­но­мер­но, то есть на одну и ту же ве­ли­чи­ну (диф­фе­рен­ци­ро­ван­ные пла­те­жи). Какую схему вы­год­нее вы­брать Ана­то­лию? Сколь­ко руб­лей будет со­став­лять эта вы­го­да?

В тра­пе­ции АBCD угол BAD пря­мой. Окруж­ность, по­стро­ен­ная на боль­шем ос­но­ва­нии АD как на диа­мет­ре, пе­ре­се­ка­ет мень­шее ос­но­ва­ние BC в точке C и M.

а)  До­ка­жи­те, что угол BАM равен углу CАD.

б)  Диа­го­на­ли тра­пе­ции АBCD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O.

Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка АOB, если АB  =  6, а BC  =  4BM.

Най­ди­те все зна­че­ния а, при каж­дом из ко­то­рых ре­ше­ния не­ра­вен­ства об­ра­зу­ют от­ре­зок длины 1.

На­ту­раль­ные числа a, b, c и d удо­вле­тво­ря­ют усло­вию a > b > c > d.

а)  Най­ди­те числа a, b, c и d, если a + b + с + d  =  15 и a² − b² + с² − d²  =  27.

б)  Может ли быть a + b + с + d  =  19 и a² − b² + с² − d²  =  19?

в)  Пусть a + b + с + d  =  1000 и a² − b² + с² − d²  =  1000. Най­ди­те ко­ли­че­ство воз­мож­ных зна­че­ний числа a.