Най­ди­те боль­шую диа­го­наль ромба, сто­ро­на ко­то­ро­го равна  а ост­рый угол равен 60°.

Най­ди­те сумму ко­ор­ди­нат век­то­ра

Най­ди­те объем приз­мы, в ос­но­ва­ни­ях ко­то­рой лежат пра­виль­ные ше­сти­уголь­ни­ки со сто­ро­на­ми 2, а бо­ко­вые ребра равны и на­кло­не­ны к плос­ко­сти ос­но­ва­ния под углом 30°.

Для под­твер­жде­ния скид­ки ма­га­зин от­прав­ля­ет по­ку­па­те­лю на те­ле­фон со­об­ще­ние с трёхзнач­ным кодом, ровно две из цифр ко­то­ро­го сов­па­да­ют. У Пети раз­ря­жен те­ле­фон. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что он слу­чай­но уга­да­ет код? Ответ округ­ли­те до ты­сяч­ных.

Сим­мет­рич­ную мо­не­ту бро­са­ют 10 раз. Во сколь­ко раз ве­ро­ят­ность со­бы­тия «вы­па­дет ровно 5 орлов» боль­ше ве­ро­ят­но­сти со­бы­тия «вы­па­дет ровно 4 орла»?

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

Функ­ция опре­де­ле­на и не­пре­рыв­на на от­рез­ке На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик её про­из­вод­ной. Най­ди­те про­ме­жут­ки воз­рас­та­ния функ­ции В от­ве­те ука­жи­те сумму целых точек, вхо­дя­щих в эти про­ме­жут­ки.

Во­до­лаз­ный ко­ло­кол, со­дер­жа­щий в на­чаль­ный мо­мент вре­ме­ни моль воз­ду­ха объeмом л, мед­лен­но опус­ка­ют на дно водоeма. При этом про­ис­хо­дит изо­тер­ми­че­ское сжа­тие воз­ду­ха до ко­неч­но­го объeма Ра­бо­та, со­вер­ша­е­мая водой при сжа­тии воз­ду­ха, опре­де­ля­ет­ся вы­ра­же­ни­ем (Дж), где — по­сто­ян­ная, а — тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха. Какой объeм (в лит­рах) ста­нет за­ни­мать воз­дух, если при сжа­тии газа была со­вер­ше­на ра­бо­та в 10 350 Дж?

Поезд, дви­га­ясь рав­но­мер­но со ско­ро­стью 80 км/⁠ч, про­ез­жа­ет мимо при­до­рож­но­го стол­ба за 36 се­кунд. Най­ди­те длину по­ез­да в мет­рах.

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции Най­ди­те

Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды SABCD лежит пря­мо­уголь­ник ABCD со сто­ро­ной AB  =  4 и диа­го­на­лью BD  =  7. Все бо­ко­вые рёбра пи­ра­ми­ды равны 4. На диа­го­на­ли BD ос­но­ва­ния ABCD от­ме­че­на точка E, а на ребре AS  — точка F так, что SF  =  BE  =  3.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость CEF па­рал­лель­на ребру SB.

б)  Плос­кость CEF пе­ре­се­ка­ет ребро SD в точке Q. Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки Q до плос­ко­сти ABC.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Фер­мер по­лу­чил кре­дит в банке под опре­де­лен­ный про­цент го­до­вых. Через год фер­мер в счет по­га­ше­ния кре­ди­та вер­нул в банк от всей суммы, ко­то­рую он дол­жен банку к этому вре­ме­ни, а еще через год в счет пол­но­го по­га­ше­ния кре­ди­та он внес в банк сумму, на 21% пре­вы­ша­ю­щую ве­ли­чи­ну по­лу­чен­но­го кре­ди­та. Каков про­цент го­до­вых по кре­ди­ту в дан­ном банке?

Точка I  — центр окруж­но­сти S₁, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC, точка O  — центр окруж­но­сти S₂, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка BIC.

а)  До­ка­жи­те, что точка O лежит на окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC.

б)  Най­ди­те ко­си­нус угла BAC, если ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC от­но­сит­ся к ра­ди­у­су окруж­но­сти S₂ как 3 : 5.

Най­ди­те все зна­че­ния а, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет ровно че­ты­ре раз­лич­ных ре­ше­ния.

Вася пе­ре­мно­жил не­сколь­ко раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел из от­рез­ка [23; 84]. Петя уве­ли­чил каж­дое из Ва­си­ных чисел на 1 и пе­ре­мно­жил все по­лу­чен­ные числа.

а)  Может ли Петин ре­зуль­тат быть ровно вдвое боль­ше Ва­си­но­го?

б)  Может ли Петин ре­зуль­тат быть ровно в 6 раз боль­ше Ва­си­но­го?

в)  В какое наи­боль­шее целое число раз Петин ре­зуль­тат может быть боль­ше Ва­си­но­го?