Бис­сек­три­са ту­по­го угла па­рал­ле­ло­грам­ма делит про­ти­во­по­лож­ную сто­ро­ну в от­но­ше­нии 4 : 3, счи­тая от вер­ши­ны остро­го угла. Най­ди­те боль­шую сто­ро­ну па­рал­ле­ло­грам­ма, если его пе­ри­метр равен 88.

Най­ди­те квад­рат длины век­то­ра

Объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен 9. Най­ди­те объем тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды

Перед на­ча­лом пер­во­го тура чем­пи­о­на­та по бад­мин­то­ну участ­ни­ков раз­би­ва­ют на иг­ро­вые пары слу­чай­ным об­ра­зом с по­мо­щью жре­бия. Всего в чем­пи­о­на­те участ­ву­ет 26 бад­мин­то­ни­стов, среди ко­то­рых 10 спортс­ме­нов из Рос­сии, в том числе Рус­лан Орлов. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в пер­вом туре Рус­лан Орлов будет иг­рать с каким-⁠либо бад­мин­то­ни­стом из Рос­сии.

При по­до­зре­нии на на­ли­чие не­ко­то­ро­го за­бо­ле­ва­ния па­ци­ен­та от­прав­ля­ют на ПЦР-⁠тест. Если за­бо­ле­ва­ние дей­стви­тель­но есть, то тест под­твер­жда­ет его в 86% слу­ча­ев. Если за­бо­ле­ва­ния нет, то тест вы­яв­ля­ет от­сут­ствие за­бо­ле­ва­ния в сред­нем в 94% слу­ча­ев. Из­вест­но, что в сред­нем тест ока­зы­ва­ет­ся по­ло­жи­тель­ным у 10% па­ци­ен­тов, на­прав­лен­ных на те­сти­ро­ва­ние.

При об­сле­до­ва­нии не­ко­то­ро­го па­ци­ен­та врач на­пра­вил его на ПЦР-⁠тест, ко­то­рый ока­зал­ся по­ло­жи­тель­ным. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что па­ци­ент дей­стви­тель­но имеет это за­бо­ле­ва­ние?

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

Функ­ция опре­де­ле­на и не­пре­рыв­на на ин­тер­ва­ле На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик её про­из­вод­ной. Най­ди­те про­ме­жут­ки воз­рас­та­ния функ­ции В от­ве­те ука­жи­те сумму целых точек, вхо­дя­щих в эти про­ме­жут­ки.

Де­та­лью не­ко­то­ро­го при­бо­ра яв­ля­ет­ся вра­ща­ю­ща­я­ся ка­туш­ка. Она со­сто­ит из трeх од­но­род­ных со­ос­ных ци­лин­дров: цен­траль­но­го мас­сой кг и ра­ди­у­са см, и двух бо­ко­вых с мас­са­ми кг и с ра­ди­у­са­ми При этом мо­мент инер­ции ка­туш­ки от­но­си­тель­но оси вра­ще­ния, вы­ра­жа­е­мый в даeтся фор­му­лой При каком мак­си­маль­ном зна­че­нии h мо­мент инер­ции ка­туш­ки не пре­вы­ша­ет пре­дель­но­го зна­че­ния 625 ? Ответ вы­ра­зи­те в сан­ти­мет­рах.

Рас­сто­я­ние между при­ста­ня­ми A и B равно 120 км. Из A в B по те­че­нию реки от­пра­вил­ся плот, а через час вслед за ним от­пра­ви­лась яхта, ко­то­рая, при­быв в пункт B, тот­час по­вер­ну­ла об­рат­но и воз­вра­ти­лась в A. К этому вре­ме­ни плот про­шел 24 км. Най­ди­те ско­рость яхты в не­по­движ­ной воде, если ско­рость те­че­ния реки равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фи­ки двух ли­ней­ных функ­ций. Най­ди­те ор­ди­на­ту точки пе­ре­се­че­ния гра­фи­ков.

Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке

а)  Ре­ши­те урав­не­ние:

б)  Най­ди­те корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку [log₃0,5; log₃2].

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC сто­ро­на ос­но­ва­ния AB равна 12, а бо­ко­вое ребро SA равно 13. Точки M и N  — се­ре­ди­ны рёбер SA и SB со­от­вет­ствен­но. Плос­кость α со­дер­жит пря­мую MN и пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α делит ме­ди­а­ну CE ос­но­ва­ния в от­но­ше­нии 5 : 1, счи­тая от точки C.

б)  Най­ди­те пло­щадь мно­го­уголь­ни­ка, яв­ля­ю­ще­го­ся се­че­ни­ем пи­ра­ми­ды SABC плос­ко­стью α.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Алек­сей при­обрёл цен­ную бу­ма­гу за 8 тыс. руб­лей. Цена бу­ма­ги каж­дый год воз­рас­та­ет на 1 тыс. руб­лей. В любой мо­мент Алек­сей может про­дать бу­ма­гу и по­ло­жить вы­ру­чен­ные день­ги на бан­ков­ский счёт. Каж­дый год сумма на счёте будет уве­ли­чи­вать­ся на 8%. В те­че­ние ка­ко­го года после по­куп­ки Алек­сей дол­жен про­дать цен­ную бу­ма­гу, чтобы через два­дцать пять лет после по­куп­ки этой бу­ма­ги сумма на бан­ков­ском счёте была наи­боль­шей?

В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке ABC с углом 120° при вер­ши­не A про­ве­де­на бис­сек­три­са BD. В тре­уголь­ник ABC впи­сан пря­мо­уголь­ник DEFH так, что сто­ро­на FH лежит на от­рез­ке BC, а вер­ши­на E  —  на от­рез­ке AB.

а)  До­ка­жи­те, что FH  =  2DH.

б)  Най­ди­те пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка DEFH, если AB  =  4.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма

имеет един­ствен­ное ре­ше­ние.

Рас­смот­рим част­ное трёхзнач­но­го числа, в за­пи­си ко­то­ро­го нет нулей, и про­из­ве­де­ния его цифр.

а)  При­ве­ди­те при­мер числа, для ко­то­ро­го это част­ное равно

б)  Может ли это част­ное рав­нять­ся

в)  Какое наи­боль­шее зна­че­ние может при­ни­мать это част­ное, если оно равно не­со­кра­ти­мой дроби со зна­ме­на­те­лем 27?